דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: נקודת החיתוך של שני ישרים - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות לחזרה על נקודת החיתוך של שני ישרים, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים פותרים מערכת של שתי משוואות כדי למצוא קדקוד, עקב של גובה או נקודת מפגש של אלכסונים. השאלות עוסקות בטרפז ישר זווית, כולל שאלה עם פרמטר m בשיפוע הצלע, במלבן ובמקבילית שצלעותיהם על הצירים, ובמרובע חסום במעגל. רוב השאלות קלות ובינוניות, ויש קשות, והמורה יכול לבחור מהן לבוחן או לדף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

79 שאלותקלה: 34בינונית: 36קשה: 9

שאלה 1 · גבהים במשולש במערכת צירים: יחס דמיון ושטחיםשאלה מלאה · קלה

במשולש OBCOBC העבירו גבהים ODOD ו-BEBE לצלעות BCBC ו-OCOC בהתאמה. הנקודה OO היא ראשית הצירים, והנקודה CC נמצאת על ציר ה-xx. משוואת הישר BCBC היא: y=−3x+12y=-3x+12.

OBCDExy
א.

מצאו את שיעורי הנקודה CC ואת אורך הצלע OCOC.

ב.

מצאו את משוואת הישר ODOD, והראו כי D(3.6,1.2)D(3.6,1.2).

ג.

חשבו את שטח המשולש ODCODC.

ד.

הוכיחו כי המשולשים BECBEC ו-ODCODC דומים.

ה.

נתון: BC=10BC=\sqrt{10}.

חשבו את יחס השטחים SBECSODC\frac{S_{BEC}}{S_{ODC}} ואת שטח המשולש BECBEC.

ו.

מצאו את שיעורי הנקודה BB ואת שטח המשולש OBCOBC.

שאלה 2 · מרובע חסום במעגל במערכת ציריםשאלה מלאה · בינונית

מרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון: ∠ABC=∠ADC\angle ABC=\angle ADC.

ABCD
א.

הוכיחו: ACAC הוא קוטר במעגל.

ב.

נתון: C(6,−2)C(6,-2), D(6,4)D(6,4), B(2,−4)B(2,-4).

(1)

הסבירו מדוע ADAD מקביל לציר ה-xx.

(2)

מצאו את משוואת הישר ABAB.

(3)

חשבו את שיעורי הנקודה AA.

(4)

מצאו את משוואת המעגל.

ג.

העבירו את האלכסון BDBD במרובע ABCDABCD.

חשבו את גודל הזווית DBCDBC.

שאלה 3 · טרפז ישר זווית עם שיפוע כפרמטרשאלה מלאה · קשה

המרובע ABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C=90^\circ, AB∥OCAB\parallel OC). משוואת הצלע ABAB היא y=−mx+6y=-mx+6 (m>0m>0). הנקודות AA ו-BB נמצאות על ציר ה-xx ועל ציר ה-yy בהתאמה, ו-OO ראשית הצירים (כמתואר באיור).

OABCxy
א.

הביעו באמצעות mm את שיעורי הקודקוד CC.

ב.

הביעו באמצעות mm את יחס השטחים SABOSBOC\frac{S_{ABO}}{S_{BOC}}.

ג.

ידוע כי שטח המשולש BOCBOC הוא 7.2. מצאו את כל הערכים האפשריים של mm.

ד.

מצאו את הערך של mm שבעבורו שטח המשולש BOCBOC הוא הגדול ביותר, ואת השטח הזה.

שאלה 4 · טרפז ישר זווית במערכת צירים: ישרים מאונכים ומקביליםשאלה מלאה · קלה

המרובע ABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C=90^\circ, AB∥OCAB\parallel OC). OO ראשית הצירים, הקודקוד B(0,6)B(0,6) נמצא על ציר ה-yy, והקודקוד AA נמצא על ציר ה-xx. משוואת הצלע OCOC היא y=−xy=-x (כמתואר באיור).

OABCxy
א.

מצאו את משוואת הצלע BCBC.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקוד CC.

ג.

מצאו את משוואת הצלע ABAB ואת שיעורי הקודקוד AA.

ד.

חשבו את גודל הזווית BOCBOC.

ה.

חשבו את השטחים של המשולשים ABOABO ו-BOCBOC, ואת היחס ביניהם.

שאלה 5 · טרפז ישר זווית במערכת צירים: משולשים דומיםשאלה מלאה · בינונית

המרובע ABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C=90^\circ, AB∥OCAB\parallel OC). משוואת הצלע ABAB היא: y=3x+10y=3x+10, הנקודות AA ו-BB נמצאות על ציר ה-xx ועל ציר ה-yy בהתאמה. OO ראשית הצירים (כמתואר באיור).

OABCxy
א.
(1)

מצאו את משוואת הצלע BCBC.

(2)

חשבו את שיעורי הקודקוד CC.

ב.

חשבו את גודל הזווית BOCBOC.

ג.
(1)

הוכיחו כי המשולשים ABOABO ו-BOCBOC דומים.

(2)

חשבו את יחס השטחים של המשולשים ABOABO ו-BOCBOC.

שאלה 6 · מלבן במערכת צירים: מיחס שטחים לקודקודים, ומתי המלבן ריבועשאלה מלאה · קשה

במלבן ABCDABCD הקודקוד AA נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yy, הקודקוד CC נמצא על החלק החיובי של ציר ה-xx, והצלע ABAB חותכת את ציר ה-xx בנקודה EE שבין OO ל-CC (OO ראשית הצירים), כמתואר באיור.

משוואת הצלע ABAB היא y=−3x+3y=-3x+3.

ABCDEO
א.

מצאו את שיעורי הנקודות AA ו-EE, והוכיחו כי המשולשים AOEAOE ו-CBECBE דומים.

ב.

נתון כי שטח המשולש CBECBE גדול פי 10 משטח המשולש AOEAOE. מצאו את שיעורי הקודקוד CC.

ג.

מצאו את שיעורי הקודקודים BB ו-DD.

ד.

בסעיף זה אין נתון על יחס השטחים: משוואת ABAB נשארת y=−3x+3y=-3x+3, ו-CC נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xx. מצאו את שיעורי CC שבעבורם המלבן ABCDABCD הוא ריבוע.

שאלה 7 · מקבילית במערכת צירים: חוצה זווית וישר מאונךשאלה מלאה · קלה

במקבילית ABCDABCD הצלע ADAD נמצאת על ציר ה-xx, והקודקוד BB נמצא על ציר ה-yy. הנקודה EE נמצאת על הצלע ADAD, וידוע כי: AB=AEAB=AE.

ABCDExy
א.
(1)

הסבירו מדוע ∠ABE=∠AEB\angle ABE=\angle AEB.

(2)

הסבירו מדוע ∠AEB=∠EBC\angle AEB=\angle EBC, והסיקו כי BEBE חוצה את ∠ABC\angle ABC.

ב.

נתון: ∠BEC=90∘\angle BEC=90^\circ, B(0,6)B(0,6), A(−8,0)A(-8,0).

חשבו את אורך הצלע ABAB, ומצאו את שיעורי הנקודה EE.

ג.

מצאו את השיפוע של הישר BEBE, ואת משוואת הישר ECEC.

ד.

הצלע BCBC מקבילה לציר ה-xx. מצאו את שיעורי הנקודה CC.

ה.

חשבו את גודל הזווית BCEBCE.

שאלה 8 · מקבילית במערכת צירים: חוצה זווית וזוויות הטרפזשאלה מלאה · בינונית

במקבילית ABCDABCD הצלע ADAD נמצאת על ציר ה-xx. הנקודה EE נמצאת על הצלע ADAD, וידוע כי: AB=AEAB=AE.

ABCDExy
א.

הוכיחו: BEBE חוצה את ∠ABC\angle ABC.

ב.

נתון: ∠BEC=90∘\angle BEC=90^\circ, B(0,12)B(0,12), A(−5,0)A(-5,0).

(1)

חשבו את שיעורי הנקודה EE.

(2)

מצאו את משוואת הישר ECEC.

(3)

מצאו את שיעורי הנקודה CC.

ג.
(1)

חשבו את גודל הזווית BCEBCE.

(2)

חשבו את הגודל של זוויות הטרפז BCEABCEA.

שאלה 9 · ריבוע במערכת צירים: יחס חלוקה, שיפוע מהיחס ותנאי לשוויון זוויותשאלה מלאה · קשה

נתון ריבוע ABCDABCD. הצלע ABAB עוברת דרך ראשית הצירים, OO. הצלע ADAD חותכת את ציר ה-yy בנקודה EE. הקודקוד CC מונח על ציר ה-xx (ראו סרטוט).

ABCDEO
א.

הוכיחו: ΔOAE∼ΔCBO\Delta OAE\sim\Delta CBO.

ב.

נתון: E(0,−20)E(0,-20), C(30,0)C(30,0).

מצאו את היחס AO:OBAO:OB.

ג.
(1)

מצאו את שיעורי הנקודה BB.

(2)

מצאו את שטח הריבוע ABCDABCD.

ד.

הוכיחו: בכל ריבוע שמונח כמתואר בשאלה (גם בלי הנתונים של סעיף ב), ∠BCO=∠OCE\angle BCO=\angle OCE אם ורק אם OO היא אמצע הצלע ABAB. מה מתקבל בריבוע של סעיף ב?

שאלה 10 · משולש במערכת צירים: דמיון, ישרים מאונכים ושטחשאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABC הקודקוד AA מונח על ציר ה-xx. הצלע ACAC חותכת את ציר ה-yy בנקודה DD. הצלע CBCB מקבילה לציר ה-xx, וחותכת את ציר ה-yy בנקודה EE, כמתואר בסרטוט שלפניכם. OO היא ראשית הצירים.

ABCDEO
א.

הסבירו מדוע ∠CED=90∘\angle CED=90^\circ, והוכיחו: ΔAOD∼ΔCED\Delta AOD\sim\Delta CED.

ב.

נתון כי משוואת הישר ACAC היא: y=−2x+4y=-2x+4.

מצאו את שיעורי הנקודות DD ו-AA.

ג.

נתון: DE=2⋅DODE=2\cdot DO.

מצאו את שיעורי הנקודה EE ואת משוואת הישר CBCB.

ד.

מצאו את שיעורי הנקודה CC, והראו כי CEAO=DEDO\frac{CE}{AO}=\frac{DE}{DO}.

ה.

נתון: הצלע ABAB מאונכת לצלע ACAC.

מצאו את משוואת הישר ABAB ואת שיעורי הנקודה BB, וחשבו את שטח המשולש ABCABC.

עוד 22 שאלות על נקודת החיתוך של שני ישרים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. מלבן במערכת צירים: דמיון משולשים, שיעורי קודקוד ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתון מלבן ABCDABCD שבו AB:BC=2:3AB:BC=2:3. הצלע ABAB עוברת דרך ראשית הצירים, OO. הצלע ADAD חותכת את ציר ה-yy בנקודה EE. הקודקוד CC מונח על ציר…

  2. טרפז ישר זווית: נקודה על הבסיס לפי שטח (שאלה מלאה · קשה)

    בסרטוט שלפניכם טרפז ישר זווית ABCDABCD (AB∥DCAB\parallel DC, ∠D=90∘\angle D=90^\circ). הקודקוד BB נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yy, והקודקוד CC…

  3. מעגל המשיק לציר ה-x: מהמשיק לאורך האנך (שאלה מלאה · קלה)

    נתון מעגל שמרכזו M(4,5)M(4,5), המשיק לציר ה-xx בנקודה AA. רדיוס המעגל שווה למרחק המרכז מציר ה-xx.

  4. משולש במערכת צירים: דמיון, ישרים מאונכים ושטח מרובע (שאלה מלאה · בינונית)

    במשולש ABCABC הקודקוד AA מונח על ציר ה-xx. הצלע ACAC חותכת את ציר ה-yy בנקודה DD. הצלע CBCB מקבילה לציר ה-xx, וחותכת את ציר ה-yy בנקודה…

  5. טרפז עם אלכסונים מאונכים: יחס הבסיסים (שאלה מלאה · קשה)

    במרובע ABCDABCD נתון: AD⊥ABAD\perp AB, AB∥DCAB\parallel DC. הקודקודים AA ו-BB נמצאים על ציר ה-xx, כמתואר בסרטוט. האלכסונים ACAC ו-BDBD מאונכים זה…

  6. טרפז ישר זווית במערכת צירים: קודקודים ושטח (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם טרפז ישר זווית ABCDABCD (AB∥DCAB\parallel DC, ∠D=90∘\angle D=90^\circ). הקודקוד BB נמצא על ציר ה-yy, והקודקוד CC נמצא על החלק…

  7. מעגל המשיק לציר ה-x: משיק בנקודה על ציר ה-y וחוצה זווית (שאלה מלאה · בינונית)

    נתון מעגל שמרכזו M(5,13)M(5,13). המעגל משיק לציר ה-xx בנקודה AA.

  8. מעוין במערכת צירים: קודקודים מתנאי מקבילות ותחום זווית (שאלה מלאה · קשה)

    בסרטוט שלפניכם מעוין ABCDABCD, שאלכסוניו נפגשים בנקודה EE. נתון: משוואת הצלע ABAB היא y=−2x+15y=-2x+15, C(−5,1)C(-5,1), והאלכסון ACAC מקביל לישר y=2xy=2x.

  9. מעוין במערכת צירים: אלכסונים, קודקודים ושטח (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם מעוין ABCDABCD, שאלכסוניו נפגשים בנקודה EE. נתון: A(4,11)A(4,11), C(0,−1)C(0,-1), ומשוואת הצלע ABAB היא y=−7x+39y=-7x+39.

  10. טרפז ישר זווית במערכת צירים: שוק בשיפוע 3- (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם טרפז ישר זווית ABCDABCD (AB∥DCAB\parallel DC, ∠D=90∘\angle D=90^\circ). הקודקוד BB נמצא על ציר ה-yy, והקודקוד CC נמצא על החלק…

  11. משולש ישר זווית עם קודקוד משתנה: שטח ויחס שטחים (שאלה מלאה · קשה)

    ABCABC הוא משולש ישר זווית (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ). נתון: A(−3,15)A(-3,15). הצלע ABAB חותכת את ציר ה-yy בנקודה P(0,11)P(0,11). הקודקוד CC נמצא על הישר…

  12. משולש ישר זווית במערכת צירים: ישר מאונך ושטח (שאלה מלאה · קלה)

    ABCABC הוא משולש ישר זווית (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ). נתון: A(−4,11)A(-4,11). הצלע ABAB חותכת את ציר ה-yy בנקודה P(0,8)P(0,8). הישר CPCP מקביל לציר…

  13. טרפז ישר זווית במערכת צירים: אלכסונים מאונכים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתון טרפז ישר זווית ABCDABCD (AD⊥ABAD\perp AB, AB∥DCAB\parallel DC). הקודקודים AA ו-BB נמצאים על ציר ה-xx, כמתואר בסרטוט. אלכסוני הטרפז נפגשים…

  14. חוצה זווית במערכת צירים: הצלע, נקודת המפגש של חוצי הזוויות ומעגלים המשיקים לשלוש הצלעות (שאלה מלאה · קשה)

    המשולש ABCABC ישר זווית ב-BB, ו-BB היא ראשית הצירים. A(0,12)A(0,12), והנקודה CC על החלק החיובי של ציר ה-xx. הישר ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC…

  15. דלתון במערכת צירים: אלכסון ושטח (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם דלתון ABCDABCD (AB=CBAB=CB, AD=CDAD=CD). הקודקוד CC נמצא ברביע השני, והצלע BCBC מקבילה לציר ה-xx. נתון: B(0,6)B(0,6), A(−3,2)A(-3,2).…

  16. משולש ישר זווית במערכת צירים: תיכון, זווית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABCABC (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ). הקודקוד BB נמצא על ציר ה-yy. נתון כי שיעורי הקודקוד AA הם (−6,0)(-6,0), ומשוואת…

  17. טרפז ישר זווית: חוצי זוויות וזוויות הטרפז (שאלה מלאה · קלה)

    נתון טרפז ישר זווית ABCDABCD (AB∥CDAB\parallel CD, AB⊥ADAB\perp AD). EBEB ו-ECEC הם חוצי הזוויות ABCABC ו-BCDBCD בהתאמה, הנפגשים בנקודה EE שעל השוק…

  18. מעוין במערכת צירים: אלכסונים מאונכים, זווית ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם מעוין ABCDABCD. אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה EE. נתון כי משוואת הצלע ABAB היא y=−x+12y=-x+12, שיעור ה-xx של הקודקוד AA הוא −3-3,…

  19. משולש ישר זווית במערכת צירים: דמיון ושטח מרובע (שאלה מלאה · בינונית)

    ABCABC הוא משולש ישר זווית (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ). הצלע ABAB חותכת את ציר ה-yy בנקודה PP. נתון כי הישר CPCP מקביל לציר ה-xx. הנקודה EE…

  20. דלתון במערכת צירים: אלכסונים, זווית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם דלתון ABCDABCD (AB=CBAB=CB, AD=CDAD=CD). הקודקוד CC נמצא ברביע השני. הצלע BCBC מקבילה לציר ה-xx. נתון: B(0,13)B(0,13), A(−5,1)A(-5,1).

  21. טרפז ישר זווית: חוצי זוויות ניצבים, ישר מאונך וזוויות הטרפז (שאלה מלאה · בינונית)

    נתון טרפז ישר זווית ABCDABCD (AB∥CDAB\parallel CD, AB⊥ADAB\perp AD). EBEB ו-ECEC הם חוצי הזוויות ABCABC ו-BCDBCD בהתאמה, הנפגשים בנקודה EE. הנקודה…

  22. משולש חסום במעגל שקוטרו צלע: ישרים, מרכז ומשוואת המעגל (שאלה מלאה · בינונית)

    משולש ABCABC חסום במעגל שקוטרו ACAC. קוטר המעגל ACAC נמצא על הישר 4y−x−15=04y-x-15=0. נתון: A(1,4)A(1,4) ; B(4,1)B(4,1).

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (33)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.