שאלות פתוחות: משוואת ישר לפי שתי נקודות - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות לחזרה על משוואת ישר לפי שתי נקודות, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים מחשבים שיפוע משתי נקודות וכותבים את משוואת הישר, ומשתמשים בה כדי למצוא נקודת חיתוך עם ציר או קדקוד חסר. השאלות עוסקות במקבילית שבה נתונה נקודת מפגש האלכסונים, במלבן שקדקודיו על הצירים, ובמשולשים שאחת מצלעותיהם מקבילה לציר. רוב השאלות קלות ובינוניות, ויש קשות, ומתאים לבוחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

28 שאלותקלה: 14בינונית: 11קשה: 3

שאלה 1 · מקבילית במערכת צירים: קודקודים, שטחים וזוויתשאלה מלאה · קלה

אלכסוני המקבילית ABCDABCDABCD נפגשים בנקודה EEE. נתון: D(−3,1)D(-3,1)D(−3,1), C(5,1)C(5,1)C(5,1), E(2,4)E(2,4)E(2,4).
ABCDE

א.

הסבירו מדוע EEE היא אמצע האלכסון ACACAC, ומצאו את שיעורי הקודקוד AAA.

ב.

מצאו את משוואות הישרים ADADAD ו-DCDCDC.

ג.

הנקודה FFF היא אמצע הצלע ADADAD. מצאו את שיעורי FFF, והראו כי FE∥DCFE\parallel DCFE∥DC.

ד.

חשבו את שטחי המשולשים AEFAEFAEF ו-ACDACDACD, והראו כי היחס ביניהם הוא 1:41:41:4.

ה.

חשבו את גודל הזווית ADCADCADC.

שאלה 2 · מקבילית במערכת צירים: קטע אמצעים ויחס שטחיםשאלה מלאה · בינונית

במקבילית ABCDABCDABCD נקודה FFF היא אמצע הצלע BCBCBC. אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה EEE.
ABCDEF

א.

(1)

הוכיחו כי: FE∥ABFE\parallel ABFE∥AB.

(2)

הוכיחו כי המשולשים CEFCEFCEF ו-CABCABCAB דומים, וחשבו את יחס שטחיהם.

ב.

נתון: A(−3,1)A(-3,1)A(−3,1), E(2,4)E(2,4)E(2,4), B(5,1)B(5,1)B(5,1).

(1)

מצאו את משוואות הישרים BCBCBC ו-ABABAB.

(2)

חשבו את גודל הזווית ABCABCABC.

ג.

(1)

חשבו את שטחי המשולשים CEFCEFCEF ו-CABCABCAB.

(2)

מצאו פי כמה גדול שטח הטרפז ABFEABFEABFE משטח המשולש CEFCEFCEF.

שאלה 3 · גבהים במשולש: קודקוד על ציר ה-x כפרמטרשאלה מלאה · קשה

במשולש חד-זווית OBCOBCOBC העבירו גבהים ODODOD ו-BEBEBE לצלעות BCBCBC ו-OCOCOC בהתאמה. OOO היא ראשית הצירים, B(4,6)B(4,6)B(4,6), והנקודה C(c,0)C(c,0)C(c,0) נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xxx (c>4c>4c>4).
OBCDExy

א.

הביעו באמצעות ccc את משוואת הישר ODODOD.

ב.

הביעו באמצעות ccc את היחס SODCSBEC\frac{S_{ODC}}{S_{BEC}}SBEC​SODC​​.

ג.

נתון: SODCSBEC=0.9\frac{S_{ODC}}{S_{BEC}}=0.9SBEC​SODC​​=0.9. מצאו את ccc.

ד.

מצאו את ccc שעבורו המשולשים BECBECBEC ו-ODCODCODC חופפים. איזה משולש הוא OBCOBCOBC במקרה זה? נמקו.

שאלה 4 · ישרים מאונכים במערכת צירים: דמיון ויחס שטחיםשאלה מלאה · קלה

נתונות הנקודות A(0,6)A(0,6)A(0,6), B(4,−2)B(4,-2)B(4,−2), C(8,0)C(8,0)C(8,0). הישר ABABAB חותך את ציר ה-xxx בנקודה EEE, ו-OOO היא ראשית הצירים.
ABCEO

א.

הראו כי ∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘.

ב.

מצאו את משוואת הישר ABABAB ואת שיעורי הנקודה EEE.

ג.

הוכיחו כי המשולשים AOEAOEAOE ו-CBECBECBE דומים.

ד.

מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים AOEAOEAOE ו-CBECBECBE, ופי כמה גדול שטח המשולש AOEAOEAOE משטח המשולש CBECBECBE.

שאלה 5 · משולש במערכת צירים: קטע אמצעים וזווית קההשאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתואר משולש ABCABCABC. הקודקוד BBB נמצא על ציר ה-yyy, והצלע ACACAC מקבילה לציר ה-yyy. נתון: AB=5AB=5AB=5, A(4,2)A(4,2)A(4,2). שיעור ה-yyy של הקודקוד BBB גדול מ-2.
ABCDE

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד BBB.

ב.

הנקודה EEE היא אמצע הצלע BCBCBC. נתון: הנקודה EEE נמצאת על ציר ה-xxx.

מצאו את שיעורי הנקודות CCC ו-EEE.

ג.

הנקודה DDD היא אמצע הצלע ACACAC. מן הנקודה EEE העבירו ישר המקביל לציר ה-yyy, וחותך את הצלע ABABAB בנקודה FFF.

(1)

הוכיחו כי המרובע FADEFADEFADE הוא מקבילית.

(2)

חשבו את שטח המקבילית FADEFADEFADE.

ד.

מצאו את גודל הזווית ∠DEF\angle DEF∠DEF.

שאלה 6 · גאומטריה אנליטית עם פרמטר: מתי הקטע המקביל הוא קטע אמצעיםשאלה מלאה · קשה

במשולש ABCABCABC הקודקוד BBB מונח על ציר ה-yyy, משוואת הצלע ABABAB היא y=−2x+2y=-2x+2y=−2x+2, ושיעור ה-yyy של הקודקוד AAA הוא 8. הצלע BCBCBC מקבילה לציר ה-xxx, אורכה kkk (k>0k>0k>0), ו-CCC מימין לציר ה-yyy. DDD היא נקודת החיתוך של ACACAC עם ציר ה-yyy, ומ-DDD העבירו ישר המקביל לציר ה-xxx החותך את ABABAB בנקודה EEE.
ABCDE

א.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי הנקודה DDD ואת אורך הקטע DEDEDE.

ב.

מצאו את הערך של kkk שעבורו DEDEDE הוא קטע אמצעים במשולש ABCABCABC.

ג.

מצאו את הערך של kkk שעבורו DE=2.25DE=2.25DE=2.25, ובעבורו מצאו פי כמה גדול שטח המשולש ABCABCABC משטח הטרפז EDCBEDCBEDCB.

ד.

האם קיים ערך של kkk שעבורו אורך הקטע DEDEDE הוא 3 או יותר? נמקו.

שאלה 7 · מלבן במערכת צירים: קודקודים ושטחיםשאלה מלאה · קלה

במלבן ABCDABCDABCD נתונים הקודקודים A(−4,0)A(-4,0)A(−4,0) ו-B(0,2)B(0,2)B(0,2). הקודקוד CCC נמצא על ציר ה-xxx, כמתואר באיור. OOO - ראשית הצירים.
ABCDO

א.

מצאו את משוואת הישר ABABAB.

ב.

מצאו את משוואת הישר BCBCBC.

ג.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ד.

מצאו את שיעורי הקודקוד DDD.

ה.

חשבו את שטח המשולש AOBAOBAOB, את שטח המשולש CDACDACDA ואת היחס ביניהם.

שאלה 8 · גאומטריה אנליטית: משולש עם צלע בשיפוע 2-, קטע אמצעים וזוויותשאלה מלאה · בינונית

במשולש ABCABCABC הקודקוד BBB מונח על ציר ה-yyy. נתון כי משוואת הצלע ABABAB היא: y=−2x+1y=-2x+1y=−2x+1. שיעור ה-yyy של הקודקוד AAA הוא 9.
ABCDE

א.

חשבו את אורך הצלע ABABAB.

ב.

נתון כי הצלע BCBCBC מקבילה לציר ה-xxx. אורך הצלע BCBCBC הוא 4.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ג.

DDD היא נקודת החיתוך של הישר ACACAC עם ציר ה-yyy.

מצאו את שיעורי הנקודה DDD.

ד.

מנקודה DDD העבירו ישר המקביל לציר ה-xxx החותך את הצלע ABABAB בנקודה EEE.

(1)

הוכיחו כי DEDEDE הוא קטע אמצעים במשולש ABCABCABC.

(2)

חשבו את אורך הקטע DEDEDE.

ה.

חשבו את גודלי הזוויות EBDEBDEBD ו-ABCABCABC.

ו.

מצאו פי כמה גדול שטח הטרפז EDCBEDCBEDCB משטח המשולש AEDAEDAED.

שאלה 9 · משולש ישר זווית עם קודקוד משתנה: שטח ויחס שטחיםשאלה מלאה · קשה

ABCABCABC הוא משולש ישר זווית (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘). נתון: A(−3,15)A(-3,15)A(−3,15). הצלע ABABAB חותכת את ציר ה-yyy בנקודה P(0,11)P(0,11)P(0,11).
הקודקוד CCC נמצא על הישר שעובר דרך PPP במקביל לציר ה-xxx, מימין לציר ה-yyy: C(c,11)C(c,11)C(c,11), c>0c>0c>0. הנקודה EEE נמצאת על הישר CPCPCP כך ש-AEAEAE מקביל לציר ה-yyy (ראו סרטוט).
AEPCB

א.

מצאו את משוואת הצלע ABABAB ואת אורך הקטע APAPAP.

ב.

הביעו באמצעות ccc את שיעורי הנקודה BBB.

ג.

נתון: שטח המרובע AEBCAEBCAEBC הוא 742. מצאו את ccc.

ד.

מצאו את ccc שבעבורו שטח המשולש CBPCBPCBP גדול פי 16 משטח המשולש AEPAEPAEP.

שאלה 10 · גאומטריה אנליטית: מאמצע צלע לקטע אמצעיםשאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABCABC הקודקוד BBB מונח על ציר ה-yyy. משוואת הצלע ABABAB היא y=−0.5x+2y=-0.5x+2y=−0.5x+2, ושיעור ה-yyy של הקודקוד AAA הוא 5. הצלע BCBCBC מקבילה לציר ה-xxx, אורכה 6, והקודקוד CCC נמצא מימין לציר ה-yyy.
ABC

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA ו-BBB, וחשבו את אורך הצלע ABABAB.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ג.

מצאו את אמצע הקטע ACACAC, והראו שהוא נמצא על ציר ה-yyy. נסמן אותו ב-DDD.

ד.

מנקודה DDD העבירו ישר המקביל לציר ה-xxx, החותך את הצלע ABABAB בנקודה EEE.

(1)

מצאו את שיעורי EEE, והראו ש-EEE היא אמצע הצלע ABABAB.

(2)

חשבו את אורך הקטע DEDEDE, והשוו אותו לאורך BCBCBC. הסבירו את התוצאה.

ה.

חשבו את גודל הזווית ABCABCABC.

ו.

המשולשים AEDAEDAED ו-ABCABCABC דומים. מהו היחס בין שטח המשולש AEDAEDAED לשטח המשולש ABCABCABC?

עוד 4 שאלות על משוואת ישר לפי שתי נקודות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

טרפז על הצירים: אלכסון משטח, זוויות והיקף (שאלה מלאה · בינונית)
המרובע $ABCD$ הוא טרפז ( $AB\parallel CD$ ), שכל קודקודיו מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט שלפניכם. ראשית הצירים $O$ היא מפגש האלכסונים של…
משולש ישר זווית במערכת צירים: ישר מאונך ושטח (שאלה מלאה · קלה)
$ABC$ הוא משולש ישר זווית ( $\angle ABC=90^\circ$ ). נתון: $A(-4,11)$ . הצלע $AB$ חותכת את ציר ה- $y$ בנקודה $P(0,8)$ . הישר $CP$ מקביל לציר…
משולש ישר זווית במערכת צירים: דמיון ושטח מרובע (שאלה מלאה · בינונית)
$ABC$ הוא משולש ישר זווית ( $\angle ABC=90^\circ$ ). הצלע $AB$ חותכת את ציר ה- $y$ בנקודה $P$ . נתון כי הישר $CP$ מקביל לציר ה- $x$ . הנקודה $E$ …
דלתון במערכת צירים: אלכסון ושטח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם דלתון $ABCD$ ( $AB=CB$ , $AD=CD$ ). הקודקוד $C$ נמצא ברביע השני, והצלע $BC$ מקבילה לציר ה- $x$ . נתון: $B(0,6)$ , $A(-3,2)$ .…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מקבילית במערכת צירים: קטע אמצעים ויחס שטחים · בגרות 471 קיץ 2020 מועד ב', שאלה 4
במקבילית $ABCD$ נקודה $F$ היא אמצע הצלע $AD$ . אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה $E$ .
משולש במערכת צירים: קטע אמצעים ומקבילית · בגרות 471 חורף 2022, שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מתואר משולש $ABC$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ , והצלע $AC$ מקבילה לציר ה- $y$ . נתון: $AB=\sqrt{40}$ , $A(6,6)$ . שיעור ה- $y$ של הקודקוד $B$ קטן…
גאומטריה אנליטית: משולש, קטע אמצעים וזוויות מהשיפוע · בגרות 471 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 4
במשולש $ABC$ הקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $y$ . נתון כי משוואת הצלע $AB$ היא: $y=-x+4$ . שיעור ה- $y$ של הקודקוד $A$ הוא 10.
טרפז על הצירים: משוואת צלע, זוויות והיקף משולש · בגרות 471 קיץ 2023 מועד א', שאלה 4
המרובע $ABCD$ הוא טרפז ( $AB\parallel CD$ ), שכל קודקודיו מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט שלפניכם. ראשית הצירים $O$ היא מפגש האלכסונים של הטרפז. נתון: $A(0,6)$ ,…
משולש ישר זווית במערכת צירים: דמיון ושטח מרובע · בגרות 471 חורף 2025, שאלה 4
$ABC$ הוא משולש ישר זווית ( $\angle ABC=90^\circ$ ). הצלע $AB$ חותכת את ציר ה- $y$ בנקודה $P$ . נתון כי הישר $CP$ מקביל לציר ה- $x$ . הנקודה $E$ נמצאת על הישר $CP$ כך…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (9)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

משולש במערכת צירים: קדקודים, משוואת צלע, אנכיות ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתון משולש $ABC$ . משוואת הצלע $AC$ היא $y=-\frac13x-2$ . משוואת הצלע $AB$ היא $y=2x-9$ . הקודקוד $C$ נמצא על ציר…
משולש במערכת צירים: קדקודים, משוואת צלע, אנכיות ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתון משולש $ABC$ . משוואת הצלע $AC$ היא $y=\frac34x+3$ . משוואת הצלע $AB$ היא $y=-3x+18$ . הקודקוד $C$ נמצא על…
משולש ישר זווית במערכת צירים: קדקודים, שטח ותיכון (שאלה מלאה · קלה)
נתון משולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ). הצלע $BC$ מונחת על ישר שמשוואתו $y=-2x+4$ . הקודקוד $A$ …
משולש ישר זווית במערכת צירים: קדקודים, שטח ותיכון (שאלה מלאה · קלה)
נתון משולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ). הצלע $BC$ מונחת על ישר שמשוואתו $y=-3x+3$ . הקדקוד $A$ נמצא…
משולש ישר זווית: מהצלע AB לשטח ולתיכון (שאלה מלאה · קלה)
נתון משולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ). הצלע $AB$ מונחת על הישר $y=2x+4$ . הקדקוד $A$ נמצא על ציר…
משולש במערכת צירים: משוואת צלע, גובה, עקב הגובה ושטח (שאלה מלאה · קלה)
קודקודי המשולש $ABC$ הם: $A(4,7)$ , $B(-5,4)$ ו- $C(5,-1)$ .
משולש במערכת צירים: משוואת צלע, גובה, עקב הגובה ושטח (שאלה מלאה · קלה)
קודקודי המשולש $ABC$ הם: $A(4,-3)$ , $B(-4,1)$ ו- $C(5,4)$ .
משולש במערכת צירים: שיפוע, גובה נתון, עקב הגובה ושטח (שאלה מלאה · קלה)
קודקודי המשולש $ABC$ הם: $A(0,6)$ , $B(-2,0)$ ו- $C(4,3)$ .
משוואת ישר לפי שתי נקודות (שאלה קצרה · קלה)
נתון משולש $PQR$ שקדקודיו $P(-4,2)$ , $Q(2,8)$ ו- $R(6,-4)$ .