דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: משוואות ריבועיות: בחירת דרך פתרון יעילה ומשוואות שדורשות פישוט - כיתה ט'

בדף הזה 37 שאלות פתוחות במתמטיקה על משוואות ריבועיות: בחירת דרך פתרון יעילה ומשוואות שדורשות פישוט, לתלמידי כיתה ט', מתוך הנושא "הפונקציה הריבועית ומשוואות ריבועיות". השאלות בכמה רמות (רמה א', רמה ב', מצוינות), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

37 שאלותרמה א': 25רמה ב': 8מצוינות: 4

שאלה 1 · משולש ישר-זווית: ניצב אחד ארוך מהשנישאלת ביניים · רמה א'

במשולש ישר-זווית אורך היתר הוא 2525 ס"מ, וניצב אחד ארוך מהניצב השני ב-1717 ס"מ. מסמנים ב-xx את אורך הניצב הקצר (בס"מ).

א.

כתבו משוואה לפי משפט פיתגורס, והראו שאפשר להביא אותה לצורה x2+17x−168=0x^2+17x-168=0. מצאו את כל הפתרונות של המשוואה.

ב.

איזה פתרון נפסל, ולמה? מצאו את אורכי שני הניצבים, ובדקו שהם מתאימים לנתונים.

ג.

חשבו את השטח ואת ההיקף של המשולש.

שאלה 2 · פותחים סוגריים, מסדרים ופותריםשאלת ביניים · רמה ב'

נתונה המשוואה (x+3)(x−2)=2x+6(x+3)(x-2)=2x+6.

א.

פתחו את הסוגריים באגף שמאל וכנסו איברים דומים.

ב.

היעזרו בסעיף א: העבירו את כל האיברים של המשוואה לאגף שמאל, והביאו אותה לצורה ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. כתבו את aa, bb ו-cc.

ג.

פתרו את המשוואה שקיבלתם בסעיף ב, ובדקו את שני הפתרונות בהצבה במשוואה הנתונה.

שאלה 3 · קיצורי דרך: חילוק שמאבד פתרון, ומשוואה שכל מספר פותרשאלה קצרה · מצוינות

שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.

א.

אורי פתר את המשוואה (2x−1)(x+4)=(2x−1)(3−x)(2x-1)(x+4)=(2x-1)(3-x). הוא חילק את שני האגפים ב-(2x−1)(2x-1), קיבל x+4=3−xx+4=3-x, ומצא פתרון אחד: x=−12x=-\frac{1}{2}.

האם אורי מצא את כל הפתרונות? מצאו את כל הפתרונות של המשוואה, והסבירו מה גרם לטעות.

ב.

מצאו את כל הפתרונות של המשוואה (2x−3)2=4x(x−3)+9(2x-3)^2=4x(x-3)+9. הסבירו את התשובה.

שאלה 4 · בוחרים את הדרך הקצרהשאלה קצרה · רמה א'

לכל משוואה בחרו דרך שמתאימה למבנה שלה: בידוד הריבוע, הוצאת גורם משותף, פירוק טרינום או נוסחת השורשים.

א.

פתרו, וכתבו ליד כל משוואה איזו דרך בחרתם ולמה: (1) 2x2−50=02x^2-50=0 (2) x2−3x−28=0x^2-3x-28=0 (3) 5x2+15x=05x^2+15x=0 (4) x2−5x+3=0x^2-5x+3=0

ב.

נועה פתרה את המשוואה (x−3)2=16(x-3)^2=16 בנוסחת השורשים, אחרי שפתחה סוגריים. הראו דרך קצרה יותר, והסבירו מה במבנה של המשוואה מאפשר אותה.

שאלה 5 · משוואה ריבועית עם מכנים מספרייםשאלת ביניים · רמה ב'

נתונה המשוואה x23−x2=32\frac{x^2}{3}-\frac{x}{2}=\frac{3}{2}.

א.

כפלו את שני האגפים במכנה המשותף הקטן ביותר של 33 ו-22, והביאו את המשוואה לצורה ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 עם מקדמים שלמים.

ב.

פתרו את המשוואה שקיבלתם בסעיף א בנוסחת השורשים.

ג.

בדקו בהצבה במשוואה הנתונה (עם השברים) ששני הפתרונות שמצאתם בסעיף ב נכונים.

שאלה 6 · סכום של שני ריבועים: מתי אין פתרון ומתי יש רק אחדשאלה קצרה · מצוינות

שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.

א.

הסבירו, בלי לפתוח סוגריים, מדוע למשוואה (x−3)2+(x+1)2=0(x-3)^2+(x+1)^2=0 אין פתרון.

אחר כך פתחו סוגריים, הביאו את המשוואה לצורה ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, והראו שגם הביטוי שמתחת לשורש בנוסחת השורשים מוביל לאותה מסקנה.

ב.

פתרו את המשוואה (x−1)2+(x−5)2=8(x-1)^2+(x-5)^2=8. כמה פתרונות יש לה? הסבירו בעזרת הצורה שקיבלתם אחרי הפישוט.

שאלה 7 · פותחים סוגריים, מכנסים ובודקים את המעלהשאלה קצרה · רמה א'

בכל משוואה פתחו סוגריים, העבירו את כל האיברים לאגף אחד וכנסו. רק אחר כך פתרו.

א.

(2x−1)(x+3)=5x+9(2x-1)(x+3)=5x+9

ב.

(x+5)2−(x−1)2=48(x+5)^2-(x-1)^2=48. אחרי הכינוס המשוואה כבר אינה ריבועית. הסבירו למה, ופתרו אותה.

שאלה 8 · משחק מספרים בכיתהשאלה מלאה · רמה ב'

בשיעור מתמטיקה המורה ביקשה מכל תלמיד לבחור מספר. מסמנים ב-xx את המספר שבחר התלמיד.

א.

מאיה כפלה את המספר שגדול ב-22 מהמספר שבחרה במספר שקטן ב-22 מהמספר שבחרה.

כתבו ביטוי לתוצאה של מאיה, ופשטו אותו.

ב.

התוצאה של מאיה הייתה 2121. איזה מספר יכלה מאיה לבחור? מצאו את שתי האפשרויות, ופתרו בדרך הקצרה ביותר.

ג.

יואב העלה בריבוע את המספר שגדול ב-22 מהמספר שבחר. התוצאה שלו שווה ל-55 פעמים המספר שבחר ועוד 1010.

כתבו משוואה, הביאו אותה לצורה ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, ומצאו איזה מספר יכול היה יואב לבחור (מצאו את כל האפשרויות).

ד.

האם יש מספר שעבורו התוצאה של מאיה (סעיף א) שווה לריבוע של המספר שגדול ב-22 מהמספר שנבחר, כלומר (x+2)2=(x+2)(x−2)(x+2)^2=(x+2)(x-2)? מצאו את כל המספרים האלה.

שאלה 9 · הפרש של שני ריבועים: מזהים מבנה לפני שפותריםשאלת ביניים · מצוינות

בסעיפים האלה מופיע הביטוי (x+2)2−(x−2)2(x+2)^2-(x-2)^2.

א.

הראו שלכל מספר xx מתקיים (x+2)2−(x−2)2=8x(x+2)^2-(x-2)^2=8x.

בדקו את השוויון עבור x=8x=8, בלי לפתוח סוגריים.

ב.

היעזרו בסעיף א ומצאו את כל הפתרונות של המשוואה (x+2)2−(x−2)2=x2(x+2)^2-(x-2)^2=x^2.

ג.

פתרו את המשוואה (x+2)2−(x−2)2=x2+16(x+2)^2-(x-2)^2=x^2+16.

הסבירו למה בניגוד לסעיף ב יש למשוואה הזאת פתרון אחד בלבד.

שאלה 10 · חלקה ריבועית וחלקה מלבניתשאלה מלאה · רמה א'

במושב יש שתי חלקות. חלקה אחת היא ריבוע שאורך צלעו xx מטרים. החלקה השנייה היא מלבן: אורך צלע אחת שלו גדול ב-22 מטרים מאורך צלע הריבוע, ואורך הצלע השנייה קטן ב-33 מטרים מפעמיים אורך צלע הריבוע.

א.

הביעו באמצעות xx את שטח החלקה המלבנית, ופשטו את הביטוי.

עבור אילו ערכים של xx יש לבעיה משמעות?

ב.

לשתי החלקות יש אותו שטח. מצאו את אורך צלע הריבוע ואת מידות המלבן.

ג.

נניח עכשיו ששטח החלקה המלבנית גדול ב-1414 מ"ר משטח החלקה הריבועית. מצאו את אורך צלע הריבוע במקרה הזה.

ד.

האם ייתכן ששטח החלקה המלבנית יהיה גדול פי 22 משטח החלקה הריבועית? אם כן, מצאו את צלע הריבוע. כמה פתרונות יש למשוואה, ולמה?

עוד 1 שאלות על משוואות ריבועיות: בחירת דרך פתרון יעילה ומשוואות שדורשות פישוט

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. ריבועים של מספרים שלמים עוקבים (שאלה מלאה · מצוינות)

    בשאלה זו עוסקים בסכומים של ריבועים של מספרים שלמים עוקבים.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (26)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.