דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: נוסחת השורשים - כיתה ט'

בדף הזה 37 שאלות פתוחות במתמטיקה על נוסחת השורשים, לתלמידי כיתה ט', מתוך הנושא "הפונקציה הריבועית ומשוואות ריבועיות". השאלות בכמה רמות (רמה א', רמה ב', מצוינות), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

37 שאלותרמה א': 19רמה ב': 13מצוינות: 5

שאלה 1 · איפה הטעות בנוסחת השורשים?שאלה קצרה · רמה א'

שלושה תלמידים פתרו את המשוואה x2−4x−5=0x^2-4x-5=0 בנוסחת השורשים x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, וכל אחד מהם טעה בשלב אחר.

א.

עדי כתבה: x=−4±362x=\frac{-4\pm\sqrt{36}}{2}. רון כתב: x=4±16−202x=\frac{4\pm\sqrt{16-20}}{2}, "ולכן אין פתרון".

מצאו את הטעות של עדי ואת הטעות של רון, והסבירו מה היה צריך לכתוב. פתרו את המשוואה נכון.

ב.

גל כתב: x=4±61x=\frac{4\pm6}{1}, וקיבל 1010 ו-−2-2.

הציבו את שני המספרים של גל במשוואה. מה מראות ההצבות? מה היה צריך להיות במכנה, ולמה?

שאלה 2 · צורה סטנדרטית ומקדמיםשאלה קצרה · רמה ב'

משוואה ריבועית בצורה סטנדרטית היא ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, כאשר a≠0a\neq0. את המקדמים כותבים עם הסימן שלהם.

א.

העבירו כל משוואה לצורה ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 עם a>0a>0, וכתבו את aa, bb ו-cc: (1) 2x2=7−5x2x^2=7-5x (2) x2−11=0x^2-11=0 (3) x(x−6)=2xx(x-6)=2x. אחר כך כתבו משוואה ריבועית שבה a=3a=3, b=0b=0, c=−5c=-5.

ב.

יעל פישטה את המשוואה x2+6x=x2−12x^2+6x=x^2-12 וכתבה: "זו משוואה ריבועית עם a=1a=1." האם היא צודקת? פשטו את המשוואה ופתרו אותה.

שאלה 3 · משחזרים משוואה מתוך נוסחת השורשיםשאלה קצרה · מצוינות

כל אחד משני תלמידים פתר משוואה ריבועית ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 בנוסחת השורשים x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. כל תלמיד הציב את המקדמים כפי שהם מופיעים במשוואה שלו (בלי לחלק או לכפול אותה קודם), חישב את −b-b, את b2−4acb^2-4ac ואת 2a2a, ועצר לפני שחישב את השורש.

א.

התלמיד הראשון קיבל x1,2=5±136x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{13}}{6}. מצאו את המשוואה שהוא פתר.

ב.

התלמיד השני קיבל x1,2=−7±94x_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{9}}{4}. מצאו את המשוואה שהוא פתר ואת פתרונותיה.

שאלה 4 · האם המספר הוא פתרון?שאלה קצרה · רמה ב'

נתונה המשוואה 2x2−x−6=02x^2-x-6=0.

א.

בדקו בהצבה אילו מהמספרים −2-2, −1-1, 00, 11, 22 הם פתרונות של המשוואה. האם כשמספר הוא פתרון, גם המספר הנגדי לו הוא פתרון? הסבירו בעזרת המשוואה.

ב.

דן אמר: "בדקתי את כל המספרים השלמים מ-−2-2 עד 22, ולכן 22 הוא הפתרון היחיד." פתרו את המשוואה בנוסחת השורשים, והסבירו מה לא בסדר בטענה של דן.

שאלה 5 · מתי או הוא פתרוןשאלה קצרה · מצוינות

בשאלה זו נבדוק קשר בין סכום המקדמים של משוואה ריבועית ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 לבין הפתרונות שלה.

א.

פתרו בנוסחת השורשים את המשוואות 2x2−9x+7=02x^2-9x+7=0 ו-5x2+x−6=05x^2+x-6=0. איזה פתרון משותף לשתיהן? הסבירו למה בכל משוואה ריבועית שבה a+b+c=0a+b+c=0 המספר x=1x=1 הוא פתרון.

ב.

המקדמים של המשוואה 3x2+10x+7=03x^2+10x+7=0 מקיימים a−b+c=0a-b+c=0. הסבירו למה במשוואה כזאת x=−1x=-1 הוא פתרון. אחר כך מצאו את כל הפתרונות של המשוואה בנוסחת השורשים.

שאלה 6 · צורה סטנדרטית, הביטוי שמתחת לשורש ופתרון לא שלםשאלת ביניים · רמה ב'

נתונה המשוואה 2x2=5x+42x^2=5x+4.

א.

העבירו את כל האיברים לאגף אחד, כך שתתקבל משוואה מהצורה ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 עם a>0a>0. כתבו את aa, את bb ואת cc.

ב.

חשבו את ערך הביטוי שמתחת לשורש בנוסחת השורשים, b2−4acb^2-4ac.

ג.

פתרו את המשוואה. כתבו את הפתרונות בצורה מדויקת (עם שורש), ואחר כך עגלו כל פתרון לשתי ספרות אחרי הנקודה.

שאלה 7 · מחליפים את ו-: פתרונות הפוכיםשאלת ביניים · מצוינות

נתונות שתי משוואות: 2x2−9x+4=02x^2-9x+4=0 ו-4x2−9x+2=04x^2-9x+2=0. במשוואה השנייה המקדם של x2x^2 והמספר החופשי התחלפו.

א.

פתרו את שתי המשוואות בנוסחת השורשים.

ב.

השוו בין הפתרונות של שתי המשוואות. מה הקשר ביניהם? הראו שאם tt הוא פתרון של המשוואה 2x2−9x+4=02x^2-9x+4=0, אז 1t\frac{1}{t} הוא פתרון של המשוואה 4x2−9x+2=04x^2-9x+2=0.

ג.

הפתרונות של המשוואה x2−5x+6=0x^2-5x+6=0 הם 22 ו-33. בעזרת הקשר שמצאתם בסעיף ב, מצאו בלי נוסחת השורשים את הפתרונות של המשוואה 6x2−5x+1=06x^2-5x+1=0, ובדקו אותם בהצבה.

שאלה 8 · מכפלה של שני מספרים זוגיים עוקביםשאלת ביניים · רמה ב'

המכפלה של שני מספרים זוגיים עוקבים היא 168168. נסמן ב-xx את המספר הקטן מבין השניים.

א.

הביעו באמצעות xx את המספר הגדול, ואת המכפלה של שני המספרים (בלי סוגריים).

ב.

כתבו משוואה לפי הנתון, והעבירו אותה לצורה ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. כתבו את aa, את bb ואת cc.

ג.

פתרו את המשוואה בנוסחת השורשים, ומצאו את כל הזוגות של מספרים זוגיים עוקבים שמכפלתם 168168.

שאלה 9 · כמה צלעות יש למצולע לפי מספר האלכסוניםשאלת ביניים · מצוינות

אלכסון של מצולע הוא קטע שמחבר שני קדקודים שאינם סמוכים. נסמן ב-nn את מספר הצלעות של מצולע (n≥3n\ge3, מספר שלם).

א.

הסבירו למה מספר האלכסונים במצולע בעל nn צלעות הוא n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}. בדקו את הנוסחה במרובע.

ב.

למצולע מסוים יש 3535 אלכסונים. בעזרת הנוסחה מסעיף א, כתבו משוואה ומצאו כמה צלעות יש לו.

ג.

האם יש מצולע שיש לו בדיוק 3030 אלכסונים? נמקו בעזרת המשוואה המתאימה.

שאלה 10 · רווח של מפעל לכיסאותשאלה מלאה · רמה ב'

מפעל קטן מייצר כיסאות. הרווח החודשי של המפעל (באלפי שקלים) נתון על ידי הפונקציה P(x)=−x2+14x−24P(x)=-x^2+14x-24, כאשר xx הוא מספר הכיסאות שהמפעל מייצר בחודש, במאות כיסאות. למשל, x=3x=3 פירושו 300300 כיסאות.

א.

מה הרווח של המפעל בחודש שבו הוא מייצר 400400 כיסאות?

ב.

כמה כיסאות בחודש צריך המפעל לייצר כדי שהרווח שלו יהיה 00 (אין רווח ואין הפסד)? כתבו את המשוואה −x2+14x−24=0-x^2+14x-24=0, רשמו את aa, את bb ואת cc ופתרו בנוסחת השורשים. מצאו את שתי האפשרויות.

ג.

בחודש מסוים הרווח של המפעל היה 2121 אלף שקלים. כמה כיסאות ייצר המפעל באותו חודש? מצאו את שתי האפשרויות.

ד.

בחודש אחר הרווח היה 1010 אלף שקלים. מצאו את שני הערכים האפשריים של xx בצורה מדויקת ובעיגול לשתי ספרות אחרי הנקודה. בערך כמה כיסאות ייצר המפעל בכל אפשרות?

עוד 1 שאלות על נוסחת השורשים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. משולשים ישרי זווית עם צלעות עוקבות (שאלה מלאה · מצוינות)

    בכל הסעיפים מדובר במשולש ישר זווית. אורכי הצלעות נמדדים בסנטימטרים. היתר הוא הצלע הארוכה ביותר במשולש, ולפי משפט פיתגורס סכום הריבועים של…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (26)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.