שאלות פתוחות: פונקציה ריבועית: הצבת ערכי x, טבלת ערכים ונקודות על הגרף - כיתה ט'

בדף הזה 32 שאלות פתוחות במתמטיקה על פונקציה ריבועית: הצבת ערכי x, טבלת ערכים ונקודות על הגרף, לתלמידי כיתה ט', מתוך הנושא "הפונקציה הריבועית ומשוואות ריבועיות". השאלות בכמה רמות (רמה א', רמה ב', מצוינות), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

32 שאלותרמה א': 11רמה ב': 16מצוינות: 5

שאלה 1 · מספר המשחקים בליגהשאלת ביניים · רמה א'

בליגת כדורסל של בתי ספר כל קבוצה משחקת נגד כל קבוצה אחרת פעמיים: פעם במגרש שלה ופעם במגרש של הקבוצה היריבה.
כאשר בליגה יש nnn קבוצות, מספר המשחקים בעונה הוא g(n)=n2−ng(n)=n^2-ng(n)=n2−n.

א.

השלימו את הטבלה בעזרת הנוסחה. חשבו גם את מספר המשחקים בליגה של 888 קבוצות.
מספר הקבוצות nnn222333444555666
מספר המשחקים

ב.

בעונה אחת התקיימו בליגה 909090 משחקים. כמה קבוצות היו בליגה? המשיכו את הטבלה עד שתמצאו.

ג.

האם ייתכן שבליגה כזאת יתקיימו בעונה בדיוק 100100100 משחקים? נמקו בעזרת התוצאות של סעיף ב.

שאלה 2 · טבלת ערכים עם ערך שגוי אחד: מהסימטריה אל הנוסחהשאלת ביניים · רמה ב'

הגרף של הפונקציה fff הוא פרבולה, והביטוי שלה הוא מהצורה f(x)=a(x−p)2+kf(x)=a(x-p)^2+kf(x)=a(x−p)2+k. תלמידה חישבה ערכים של fff ורשמה אותם בטבלה:
xxx−2-2−2−1-1−1000111222333444
f(x)f(x)f(x)101010000−6-6−6−8-8−8−4-4−4000101010
היא בדקה שוב את הערכים בעמודות x=0x=0x=0 ו-x=1x=1x=1, והם נכונים. הערך הקטן ביותר בטבלה הוא הערך בקדקוד. אחד הערכים האחרים בטבלה שגוי.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$10$	$0$	$-6$	$-8$	$-4$	$0$	$10$

א.

הנקודה שבה x=1x=1x=1 היא הקדקוד, ולכן הישר x=1x=1x=1 הוא ציר הסימטריה. השוו בין ערכים שנמצאים במרחק שווה מ-x=1x=1x=1, משני הצדדים. מצאו את הערך השגוי ותקנו אותו.

ב.

כתבו את הקדקוד של הפרבולה ואת נקודות האפס של fff, לפי הטבלה המתוקנת. האם הקדקוד הוא נקודת מינימום או נקודת מקסימום?

ג.

מצאו את aaa, את ppp ואת kkk, וכתבו את הביטוי של fff. אחר כך כתבו את תחום החיוביות ואת תחום השליליות של fff.

שאלה 3 · הצבה בפרבולה $y = x^{2}$ בלי לדעת את שיעור ה- $x$ שאלה קצרה · מצוינות

הגרף של הפונקציה f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 הוא פרבולה.

א.

הנקודה (k,20)(k,20)(k,20) נמצאת על הפרבולה. בלי לחשב את kkk, מצאו את שיעור ה-yyy של הנקודות על הפרבולה שבהן x=−kx=-kx=−k, x=2kx=2kx=2k ו-x=3kx=3kx=3k. הסבירו.

ב.

הנקודות (p,q)(p,q)(p,q) ו-(p+1,q+7)(p+1,q+7)(p+1,q+7) נמצאות שתיהן על הפרבולה. מצאו את ppp ואת qqq.

שאלה 4 · מקדם חסר, טבלת ערכים וזוגות עם אותו ערךשאלת ביניים · רמה א'

נתונה הפונקציה f(x)=2x2+bx−5f(x)=2x^2+bx-5f(x)=2x2+bx−5. הנקודה (3,7)(3,7)(3,7) נמצאת על הגרף של הפונקציה.

א.

מצאו את bbb.

ב.

השלימו את הטבלה בעזרת הפונקציה שמצאתם.
xxx−2-2−2−1-1−1000111222333
f(x)f(x)f(x)

ג.

בטבלה יש זוגות של ערכי xxx שונים שמקבלים אותו ערך של fff. מה הסכום של שני ערכי ה-xxx בכל זוג? היעזרו בכך ומצאו מספר xxx שונה מ-555 שבעבורו f(x)=f(5)f(x)=f(5)f(x)=f(5). בדקו בהצבה.

שאלה 5 · טבלת ערכים לפונקציה $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ שאלת ביניים · רמה ב'

נתונה הפונקציה f(x)=x2+2x−3f(x)=x^2+2x-3f(x)=x2+2x−3.

א.

השלימו את הטבלה. כתבו שורת הצבה עם סוגריים בכל חישוב.
xxx−4-4−4−3-3−3−2-2−2−1-1−1000111222
f(x)f(x)f(x)

ב.

היעזרו בטבלה שהשלמתם. בעבור אילו ערכים של xxx מהטבלה f(x)=0f(x)=0f(x)=0? ובעבור אילו ערכים של xxx מהטבלה f(x)=5f(x)=5f(x)=5?

ג.

האם הנקודה (3,12)(3,12)(3,12) נמצאת על הגרף של fff? והאם הנקודה (−5,10)(-5,10)(−5,10) נמצאת על הגרף? הציגו חישוב.

שאלה 6 · נקודות שנבנות מנקודה על הפרבולה: תמיד, לפעמים או אף פעםשאלה קצרה · מצוינות

הנקודה (a,b)(a,b)(a,b) נמצאת על הגרף של הפונקציה f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2.

א.

הסבירו מדוע הנקודה (−a,b)(-a,b)(−a,b) והנקודה (2a,4b)(2a,4b)(2a,4b) נמצאות גם הן על הגרף, לכל ערך של aaa.

ב.

עדי אומרת: "גם הנקודה (a+1,b+1)(a+1,b+1)(a+1,b+1) תמיד על הגרף". הראו שעדי טועה, ומצאו את כל הערכים של aaa שבעבורם הנקודה (a+1,b+1)(a+1,b+1)(a+1,b+1) בכל זאת נמצאת על הגרף.

שאלה 7 · אבן שנופלת: הדרך כפונקציה של הזמןשאלה מלאה · רמה א'

משחררים אבן ממנוחה, והיא נופלת. הדרך שהאבן עוברת (במטרים) כעבור ttt שניות מחושבת בקירוב לפי הנוסחה d(t)=5t2d(t)=5t^2d(t)=5t2. (מזניחים את התנגדות האוויר.)

א.

השלימו את הטבלה.
הזמן ttt (שניות)000111222333444
הדרך ddd (מטרים)

ב.

משחררים אבן מגג של בניין שגובהו 454545 מטרים. כעבור כמה שניות היא תפגע בקרקע?

ג.

משחררים אבן מראש צוק שגובהו 100100100 מטרים. כעבור כמה שניות היא תפגע במים שלמטה? כתבו תשובה מדויקת ותשובה מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

ד.

כמה מטרים עוברת האבן בשנייה השלישית של הנפילה (בין t=2t=2t=2 ל-t=3t=3t=3)? פי כמה זה יותר מהדרך שהיא עוברת בשנייה הראשונה?

ה.

מראש הצוק משחררים אבן אחת, וכעבור שנייה בדיוק משחררים אבן שנייה. מה המרחק בין שתי האבנים ברגע שהאבן הראשונה נופלת כבר 333 שניות? ומה המרחק ביניהן ברגע שהאבן הראשונה נופלת 444 שניות? האם המרחק בין האבנים נשאר קבוע?

שאלה 8 · נקודות החיתוך של $f (x) = x^{2}$ עם ישר אופקישאלה קצרה · רמה ב'

מצאו את נקודות החיתוך של הגרפים של הפונקציות:

f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 ו- g(x)=25g(x) = 25g(x)=25

שאלה 9 · קטע אופקי שקצותיו על הפרבולה $y = x^{2}$ שאלת ביניים · מצוינות

הנקודות AAA ו-BBB נמצאות על הפרבולה y=x2y=x^2y=x2. הקטע ABABAB מקביל לציר ה-xxx, ואורכו 101010. הנקודה AAA משמאל לנקודה BBB.
y=x2
AB

א.

מצאו את השיעורים של AAA ושל BBB. הסבירו.

ב.

הנקודה OOO היא ראשית הצירים. חשבו את השטח של המשולש AOBAOBAOB.

ג.

על אותה פרבולה יש קטע אופקי אחר, CDCDCD, מעל ראשית הצירים (CCC משמאל ל-DDD). אורך הקטע CDCDCD שווה לשיעור ה-yyy של הנקודות CCC ו-DDD. מצאו את השיעורים של CCC ושל DDD.

שאלה 10 · תמונה ריבועית במסגרתשאלה מלאה · רמה א'

תמונה ריבועית, שאורך הצלע שלה xxx ס"מ, נמצאת בתוך מסגרת. רוחב המסגרת 222 ס"מ מכל צד. התמונה יחד עם המסגרת היא ריבוע גדול יותר.

א.

כתבו ביטוי לשטח התמונה, A(x)A(x)A(x), וביטוי לשטח התמונה יחד עם המסגרת, T(x)T(x)T(x).

ב.

השלימו את הטבלה.
אורך צלע התמונה xxx (ס"מ)101010151515202020
שטח התמונה (סמ"ר)
שטח התמונה עם המסגרת (סמ"ר)
שטח המסגרת (סמ"ר)

ג.

הראו ששטח המסגרת הוא 8x+168x+168x+16. בטבלה, כשהצלע גדלה ב-555 ס"מ, שטח המסגרת גדל בכל פעם באותו מספר. בכמה? האם גם שטח התמונה גדל בכל פעם באותו מספר?

ד.

שטח התמונה הוא 324324324 סמ"ר. מה אורך הצלע של התמונה, ומה שטח המסגרת?

ה.

בתמונה אחרת, השטח של התמונה יחד עם המסגרת הוא 900900900 סמ"ר. מה אורך הצלע של התמונה?

עוד 5 שאלות על פונקציה ריבועית: הצבת ערכי x, טבלת ערכים ונקודות על הגרף

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פתרון גרפי של $x^{2} = 4$ (שאלה קצרה · רמה ב')
הציגו באופן גרפי את המשוואה
ערכים זוגיים של $h (n) = n^{2} + n$ (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונה הפונקציה $h(n)=n^2+n$ . מציבים בה רק מספרים שלמים.
האם הנקודה על הפרבולה $f (x) = x^{2}$ ? (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה הפונקציה $f(x) = x^2$ .
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות על הפרבולה (שאלה מלאה · מצוינות)
על הפרבולה $y=x^2$ בוחרים שתי נקודות שונות ומעבירים דרכן ישר. בשאלה זו תחקרו את השיפוע של ישר כזה.
שיעור ה- $x$ של נקודה על $f (x) = x^{2}$ כשה- $y$ ידוע (שאלה קצרה · רמה א')
מצאו את שיעורי ה- $x$ של הנקודות הבאות הממוקמות על הפרבולה: $f(x) = x^2$ :

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (17)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פרבולה בהקשר: נקודות חיתוך, קדקוד ותחומי עלייה (שאלה קצרה · רמה א')
מסלול זרם המים במזרקה מתואר על ידי הפונקציה $y=-0.25x^2+2x$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת היציאה…
כיוון הפתיחה של פרבולה וגובה בנקודה (שאלה קצרה · רמה ב')
כדור נבעט מהקרקע. מסלול הכדור מתואר על ידי הפרבולה $f(x)=-x^2+6x$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת…
הכנסה כפונקציה ריבועית: ערך ונקודות חיתוך בהקשר (שאלה קצרה · רמה א')
קבוצה של $12$ ילדים נרשמה לסיור במוזיאון. כל ילד היה צריך לשלם $60$ ₪, אבל על כל ילד נוסף שמצטרף, המחיר לכל…
נקודות החיתוך של הפרבולה עם הצירים מתוך הפונקציה (שאלה קצרה · רמה ב')
הפרבולה $y=x^2+bx+18$ חותכת את ציר ה- $x$ בנקודה $(3,0)$ .
הקשר בין המקדמים לצורת הפרבולה והתאמת גרף לפונקציה (שאלה קצרה · רמה ב')
לפניכם גרף הפונקציה $f(x)=x^2+bx+c$ . הגרף חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0,3)$ , ואת ציר ה- $x$ בנקודה $(1,0)$ …
קשתות וגשרים: האם אפשר לעבור מתחת לקשת (שאלה קצרה · רמה א')
התקרה של מנהרה דו-סטרית היא קשת שמשוואתה $y=-0.4x^2+6$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מהקו המפריד שבאמצע…
מודל ריבועי בהקשר כלכלי: הכנסה, רווח ומחיר (שאלה קצרה · רמה ב')
הרווח היומי של דוכן מיצים (באלפי שקלים) לפי מחיר כוס מיץ $x$ (בשקלים) מתואר על ידי הפונקציה $P=-x^2+14x-24$ .
מודל ריבועי: כדור שנזרק ממרפסת (שאלה מלאה · רמה ב')
כדור נזרק ממרפסת. מסלול הכדור הוא חלק מפרבולה שמשוואתה $y=-x^2+4x+5$ (ראו סרטוט), כאשר $x$ הוא המרחק האופקי…
מודל ריבועי: רמפת סקייטבורד (שאלה מלאה · רמה ב')
מסלול של רמפת סקייטבורד בנוי בצורת פרבולה שמשוואתה $y=0.5x^2-4x+9$ , עבור $0\le x\le7$ . ציר ה- $x$ מונח על הקרקע…
משמעות של ערך הפונקציה מחוץ לתחום המודל (שאלה קצרה · רמה ב')
כדור נזרק מגג של מבנה. הגובה שלו מעל הקרקע במטרים כעבור $x$ שניות מתואר על ידי הפונקציה $y=-5x^2+13x+6$ . הכדור…
לאילו ערכים של המשתנה יש משמעות בבעיית הכנסה (שאלה קצרה · רמה ב')
קבוצה של $16$ משתתפים נרשמה לסדנת צילום. כל משתתף היה צריך לשלם $120$ ₪. המדריך הסכים שלכל משתתף נוסף שיצטרף…
שתי תבניות אריחים: מתי יש אותו מספר אריחים? (שאלת ביניים · רמה ב')
נועם ועדי בונים תבניות מאריחים מרובעים, בשלבים $1$ , $2$ , $3$ וכן הלאה. בתבנית של נועם בשלב $x$ יש ריבוע של $x$ …
מחיר כרטיס והכנסה: הצבות בנוסחה (שאלת ביניים · רמה א')
מועדון בשכונה מארגן הופעה קטנה. אם מחיר הכרטיס הוא $p$ ש"ח, צפויים לקנות כרטיסים $50-p$ אנשים, וההכנסה בשקלים…
ביטוי עם ריבוע: מתי התוצאה שלילית? (שאלה קצרה · רמה ב')
נתון הביטוי $3\cdot x^2-10\cdot x$ .
הצבת מספרים שליליים: איפה הטעות? (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונה הפונקציה $g(x)=x^2-2x$ .
מרחק הבלימה של אופניים חשמליים (שאלה מלאה · רמה א')
מרחק הבלימה של אופניים חשמליים (נסמן $d$ , במטרים) תלוי במהירות הנסיעה (נסמן $v$ , בקמ"ש). בכביש יבש מרחק הבלימה…
מספרים נגדיים, אותו ערך (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונה הפונקציה $w(x)=2x^2-1$ .